물리학의 범위와 모형

물리학은 자연의 지도를 그리는 일이다

공식을 외우는 과목이라는 오해

이번 시간에는 물리학의 범위와 모형에 대해 알아보겠습니다. 아마 물리학이라는 말을 들으면 많은 분들이 칠판을 가득 채운 공식부터 떠올리실 텐데요, 학교에서 공식을 외우고 숫자를 대입해 답을 내는 일만 되풀이했다면 그렇게 느끼는 것도 무리가 아닙니다. 그런데 사실 공식은 물리학이 하는 일의 맨 마지막에 남는 결과물일 뿐이고, 물리학자들이 정작 가장 공을 들이는 일은 따로 있습니다. 바로 복잡하기 짝이 없는 자연에서 무엇을 남기고 무엇을 지울지를 정하는 일입니다.

그게 무슨 소리야? 자연을 있는 그대로 정확하게 다루는 게 과학 아니야?

얼핏 생각하면 그 말이 맞는 것처럼 들리지만, 실제로는 전혀 그렇지 않습니다. 예를 들어 운동장에서 야구공 하나를 던졌다고 해 봅시다. 이 공은 날아가는 동안 빙글빙글 돌기도 하고, 공기에 부딪혀 조금씩 느려지기도 하고, 실밥이 바람을 가르는 바람에 길이 살짝 휘기도 합니다. 게다가 손을 떠나는 순간에는 아주 조금 찌그러졌다가 펴지고, 그날의 기온에 따라 공기가 공을 막아서는 정도마저 달라집니다. 만약 이 모든 것을 빠짐없이 따져야만 공이 어디에 떨어질지 알 수 있다면, 우리는 공 하나의 운동조차 영영 계산해 내지 못할 것입니다.

그래서 물리학은 정반대의 길을 택합니다. 즉 공이 어디에 떨어지는지 아는 데 꼭 필요한 것만 남기고 나머지는 과감하게 지워 버리는 것인데요, 놀랍게도 공을 크기도 모양도 없는 점 하나로 바꾸어 놓아도 떨어지는 자리를 꽤 정확하게 맞힐 수 있습니다. 이처럼 자연에서 덜 중요한 것을 지우고 뼈대만 남겨 놓은 것을 모형이라고 부릅니다. 따라서 물리학을 공부한다는 것은 공식을 외우는 것이 아니라, 자연을 어떤 모형으로 바꾸어 볼지를 배우고 그 모형이 어디까지 통하는지를 익히는 것이라고 할 수 있습니다.

지도는 땅이 아니지만 길을 찾게 해 준다

그렇다면 모형이란 정확히 무엇일까요? 이 질문에는 지도를 떠올리면 가장 쉽게 답할 수 있습니다. 처음 가 보는 동네에서 지하철역을 찾을 때 우리는 휴대폰의 지도를 켜는데, 그 지도에는 건물의 색깔도, 가로수도, 길을 걷는 사람도 그려져 있지 않습니다. 그런데도 우리는 하늘에서 찍은 사진보다 이 단순한 지도를 보고 길을 훨씬 잘 찾습니다. 왜냐하면 길을 찾는 데 필요한 것은 길이 어떻게 이어져 있고 역이 어디에 있는지뿐이어서, 나머지는 오히려 눈을 어지럽힐 뿐이기 때문입니다.

왼쪽과 오른쪽을 나란히 놓고 보면, 지도가 무엇을 지우고 무엇을 남겼는지가 한눈에 들어옵니다. 실제로 왼쪽의 땅에는 건물과 나무와 자동차가 빼곡하지만, 오른쪽 지도에는 길과 강, 그리고 집과 역만 남아 있습니다. 여기서 눈여겨볼 점은 지도가 땅과 닮은 구석이 딱 하나 있다는 것인데요, 길이 꺾이는 자리와 이어지는 차례만큼은 실제 땅과 똑같습니다. 다시 말해 지도는 땅을 통째로 베낀 것이 아니라, 우리가 알고 싶은 관계 하나만 땅과 닮게 옮겨 놓은 것입니다. 철학자 코집스키는 일찍이 이 점을 두고, 지도는 그것이 나타내는 땅이 아니지만 구조가 땅과 닮았기 때문에 쓸모가 있다고 말한 바 있습니다 [1].

그렇다면 지도에 그려진 것은 무엇이든 믿어도 되는 것일까요? 물론 그렇지 않은데, 맨 위에 실은 세계 지도가 좋은 본보기입니다. 이 지도는 1569년에 메르카토르가 내놓은 방법으로 그린 것으로, 위도와 경도를 모두 곧은 선으로 펴 놓았기 때문에 뱃사람들이 두 항구 사이의 뱃길을 직선 하나로 그을 수 있어서 더없이 편리했습니다 [2]. 하지만 그 대가로 극지방에 가까운 땅일수록 실제보다 훨씬 크게 그려지고 말았습니다. 실제로 이 지도에서 북쪽의 그린란드는 아프리카와 엇비슷한 크기로 보이지만, 아프리카의 넓이는 그린란드의 약 14배나 됩니다 [2].

그럼 그 지도는 틀린 지도네? 틀린 걸 왜 아직도 써?

사실 틀렸다기보다는, 쓸 수 있는 곳과 쓸 수 없는 곳이 정해져 있다고 말하는 편이 정확합니다. 방향을 잡는 데 쓰면 이 지도는 지금도 훌륭하지만, 땅의 넓이를 견주는 데 쓰면 엉뚱한 답을 내놓습니다. 즉 지도가 잘못된 것이 아니라, 지도를 만든 목적과 다른 곳에 썼을 때 문제가 생기는 것이지요. 그리고 물리학의 모형도 이와 조금도 다르지 않아서, 모든 모형에는 잘 맞는 범위가 있고 그 범위를 벗어나면 엉뚱한 답이 나옵니다. 따라서 모형을 배울 때는 그 모형이 무엇을 말해 주는지와 함께, 어디까지 믿어도 되는지를 반드시 같이 익혀야 합니다.

다만 지도 비유가 딱 들어맞지 않는 곳도 하나 있습니다. 지도는 누군가 이미 가 본 땅을 보고 그리지만, 물리학의 모형은 아직 아무도 보지 못한 것을 미리 말해 주기도 하기 때문입니다. 실제로 조금 뒤에 살펴볼 천문학자들은 종이 위의 계산만으로 한 번도 본 적 없는 행성의 자리를 짚어 냈습니다. 그러므로 물리학의 지도는 길을 안내하는 데서 그치지 않고, 가 보지 않은 땅에 무엇이 있을지까지 알려 주는 지도라고 보시면 됩니다.

앞으로 무엇을 배우게 될까

이제 눈을 조금 넓혀 보면, 물리학은 자연 전체를 담은 커다란 지도책이라고 할 수 있습니다. 물리학이라는 이름부터가 자연을 뜻하는 그리스 말에서 왔고, 물질과 에너지가 공간과 시간 속에서 서로 어떻게 영향을 주고받는지를 밝혀서 모든 현상의 바탕에 놓인 원리를 찾는 것이 물리학의 목표이기 때문입니다 [3]. 그리고 우리는 앞으로 이 지도책을 한 장씩 넘겨 가게 됩니다. 먼저 물체가 왜, 그리고 어떻게 움직이는지를 다루는 역학에서 출발하고, 이어서 흔들림이 퍼져 나가는 파동과 뜨거움을 다루는 열역학으로 나아갑니다. 그 뒤에는 전기와 자기, 그리고 빛을 차례로 살펴보고, 마지막에는 아주 빠르거나 아주 작은 세계에서 벌어지는 낯선 일들까지 만나게 될 것입니다.

구역마다 적어 둔 여섯 가지 질문이 앞으로 우리가 하나씩 답해 나갈 질문들입니다. 물론 양이 많아 보여서 지레 겁이 나실 수도 있지만 걱정하실 필요는 없는데요, 여섯 장의 지도가 모두 같은 방식으로 그려졌기 때문입니다. 즉 자연을 관찰하고, 덜 중요한 것을 지워 모형을 세우고, 그 모형으로 숫자를 예측한 뒤에 실험과 견주어 보는 방식이 처음부터 끝까지 되풀이됩니다. 따라서 지도 읽는 법을 한 번만 제대로 익혀 두면 나머지는 훨씬 수월해집니다.

오늘은 바로 그 지도 읽는 법을 익히는 시간입니다. 그리고 이어지는 몇 시간 동안에는 지도에 숫자를 적어 넣는 데 필요한 도구들, 곧 단위와 차원, 그리고 측정값을 얼마나 믿을 수 있는지 나타내는 방법을 차례로 배우게 됩니다. 자, 그렇다면 가장 먼저 궁금해지는 것부터 풀어 봅시다. 물리학이라는 지도책에는 대체 얼마나 넓은 땅이 담겨 있을까요?

물리학은 어디서부터 어디까지 다루는가

물질과 에너지, 공간과 시간

물리학이 다루는 대상을 한 문장으로 줄이면, 물질과 에너지가 공간과 시간 속에서 벌이는 모든 일입니다 [3]. 여기서 물질은 책상이나 물, 공기처럼 자리를 차지하고 있는 것을 가리키고, 에너지는 물체를 움직이거나 데울 수 있는 능력을 가리키는데 에너지의 정확한 뜻은 뒤에서 일과 에너지를 배울 때 차근차근 다루겠습니다. 그리고 그 일이 벌어지는 무대인 공간과 시간을 더하면 낱말은 네 개뿐입니다. 그런데 이 네 낱말로 묶이지 않는 자연 현상을 찾기가 오히려 어렵습니다.

예를 들어 아침에 눈을 떠서 집을 나서기까지 벌어지는 일만 따져 보아도 물리학이 닿지 않는 곳이 없습니다. 휴대폰 알람이 울리는 것은 전기와 소리의 일이고, 주전자의 물이 끓는 것은 열의 일이고, 거울에 얼굴이 비치는 것은 빛의 일입니다. 또 계단을 헛디뎠을 때 몸이 아래로 쏠리는 것은 중력 때문이고, 버스가 갑자기 멈출 때 몸이 앞으로 쏠리는 것은 운동의 법칙 때문이지요. 이처럼 겉으로는 서로 아무 관계가 없어 보이는 일들이 몇 가지 안 되는 원리로 설명된다는 것, 바로 그 점이 물리학의 가장 큰 매력입니다.

그런데 물리학의 범위가 넓다는 말은 다루는 현상의 가짓수가 많다는 뜻만은 아닙니다. 사실 그보다 더 놀라운 것은 다루는 대상의 크기가 상상하기 어려울 만큼 넓게 퍼져 있다는 점인데요, 물리학은 원자 속의 알갱이부터 은하가 모인 우주 전체까지를 한 학문 안에서 다룹니다. 맨 위의 사진은 허블 우주 망원경이 화로자리 쪽 하늘의 아주 작은 영역을 오래 들여다보고 얻은 것인데, 여기 찍힌 빛 얼룩은 거의 모두가 저마다 수많은 별을 거느린 은하입니다. 그렇다면 이렇게 큰 것과 원자처럼 작은 것을 어떻게 하나의 자 위에 올려놓을 수 있을까요?

열 배씩 건너뛰는 자

우선 우리가 평소에 쓰는 자로는 이 일을 해낼 수 없습니다. 왜냐하면 보통의 자는 한 칸을 갈 때마다 같은 길이가 더해지는 자여서, 1 m 간격으로 눈금을 매기면 원자는 0 바로 옆에 달라붙어 보이지도 않고, 반대로 달까지의 거리를 나타내려면 자가 지구 밖으로 한참 뻗어 나가야 하기 때문입니다. 즉 더하는 자는 비슷한 크기끼리 견줄 때는 편리하지만, 수만 배나 수억 배씩 차이 나는 것들을 한꺼번에 늘어놓는 데는 전혀 맞지 않습니다.

그래서 물리학에서는 한 칸을 갈 때마다 열 배가 되는 자를 씁니다. 아래 그림의 주황색 자가 바로 그것인데, 첫 눈금이 1 m이면 다음 눈금은 10 m, 그다음은 100 m가 되어 다섯 칸만 가도 100 km에 이릅니다. 반대로 왼쪽으로 한 칸 갈 때마다 10분의 1로 줄어들므로, 몇 칸만 가면 머리카락 굵기를 지나 원자 크기에 닿게 되지요. 따라서 이 자 위에서 두 눈금 사이의 간격은 몇 미터 차이가 나는지가 아니라 몇 배 차이가 나는지를 말해 줍니다.

그런데 이 자의 눈금을 적으려면 10을 여러 번 곱한 수를 짧게 쓰는 방법이 필요합니다. 예를 들어 10을 세 번 곱한 1,000은 $10^3$, 여섯 번 곱한 1,000,000은 $10^6$ 이라고 쓰는데, 오른쪽 위에 작게 붙인 숫자는 10을 몇 번 곱했는지를 나타냅니다. 반대로 10으로 나눈 횟수는 빼기 부호를 붙여서 나타내므로, 1을 10으로 세 번 나눈 0.001은 $10^{-3}$ 이 됩니다. 그리고 한 번도 곱하지 않은 $10^0$ 은 그냥 1입니다. 이 표기법은 다음 시간에 단위를 배울 때 더 꼼꼼하게 다룰 것이므로, 지금은 오른쪽 위의 숫자가 1 커질 때마다 열 배가 된다는 것만 기억하시면 충분합니다.

이렇게 10을 몇 번 곱했는지로 나타낸 크기의 단계를 크기 자릿수라고 부릅니다. 가령 어떤 것이 다른 것보다 크기 자릿수가 3만큼 크다고 하면, 열 배를 세 번 했으니 천 배쯤 크다는 뜻입니다. 여기서 굳이 쯤이라는 말을 붙인 데는 이유가 있습니다. 크기 자릿수는 정확한 값이 아니라 대략 어느 단계에 있는지를 말하는 것이어서, 키가 1.7 m인 어른도 1 m 남짓한 아이도 모두 $10^0\ \mathrm{m}$ 단계에 있다고 보기 때문입니다. 물론 자릿수만 가지고 어림셈을 하는 요령은 뒤에서 따로 시간을 내어 익히게 됩니다.

원자핵에서 관측 가능한 우주까지

이제 이 자 위에 자연의 여러 대상을 올려놓아 봅시다. 작은 것부터 큰 것까지 대표적인 길이를 표에 차례로 적어 보았는데, 맨 오른쪽 칸에는 바로 윗줄에 견주어 몇 배가 되는지를 함께 적어 두었습니다. 여기서 맨 윗줄의 양성자는 원자 한가운데에 있는 원자핵을 이루는 알갱이로, 가장 가벼운 원자인 수소의 원자핵은 양성자 하나뿐입니다. 양성자와 수소 원자의 값은 미국 국립표준기술연구소가 공개한 값에서 [4], 지구와 달과 태양에 관한 값은 미국 항공우주국의 자료에서 [5], 관측 가능한 우주의 값은 브리태니커 백과사전에서 가져왔고 [6], 나머지는 대학 교재에 실린 어림값입니다 [3]. 다만 양성자나 원자는 경계가 또렷한 공이 아니어서 크기를 재는 약속에 따라 값이 조금씩 달라지므로, 여기서는 널리 쓰이는 반지름의 대푯값을 두 배 하여 지름으로 적었습니다.

표의 맨 윗줄과 맨 아랫줄을 견주어 보면 물리학이 다루는 범위가 실감 납니다. 관측 가능한 우주의 지름은 양성자 지름의 약 $5\times 10^{41}$ 배인데, 이는 5 뒤에 0이 마흔한 개나 붙는 수입니다. 여기서 관측 가능한 우주란 우주 전체가 아니라 지금 우리에게 빛이 닿을 수 있는 범위를 가리키고, 빛이 1년 동안 가는 거리를 1광년이라고 할 때 그 지름은 약 930억 광년으로 알려져 있습니다 [6]. 그런데 이렇게 터무니없이 벌어진 두 길이도 열 배씩 건너뛰는 자 위에서는 종이 한 장 안에 얌전히 들어옵니다.

이 사다리에서 사람의 키가 놓인 자리를 먼저 찾아보시기 바랍니다. 사람은 사다리의 한가운데쯤에 있어서, 아래로 열다섯 칸을 내려가면 양성자가 나오고 위로 스물일곱 칸쯤 올라가면 관측 가능한 우주의 끝이 나옵니다. 그리고 색을 달리 칠한 세 구역 가운데 우리가 맨눈과 맨손으로 겪어 볼 수 있는 곳은 가운데 구역뿐입니다. 다시 말해 나머지 두 구역은 현미경이나 망원경 같은 도구의 도움을 받아야만 들여다볼 수 있는 세계인 셈이지요.

그렇다고 작은 쪽 끝이 상상 속의 세계인 것은 결코 아닙니다. 주사 터널링 현미경이라는 장치로 깨끗한 금의 표면을 들여다보면 이런 모습이 나오는데, 줄지어 늘어선 알갱이 하나하나가 금 원자입니다. 즉 $10^{-10}\ \mathrm{m}$ 단계의 세계도 오늘날에는 이렇게 사진으로 담아낼 수 있습니다. 혹시 열 배씩 건너뛴다는 것이 어떤 느낌인지 더 생생하게 알고 싶다면, 1977년에 임스 부부가 만든 9분짜리 영화 〈Powers of Ten〉을 찾아보시기를 권합니다. 이 영화는 시카고의 공원에서 소풍을 즐기는 사람들에서 출발해 화면을 열 배씩 넓혀 1억 광년 밖까지 물러났다가, 다시 열 배씩 좁혀 양성자 하나까지 파고듭니다 [7].

질량과 시간에도 같은 사다리가 있다

그런데 이렇게 넓게 퍼져 있는 것은 길이만이 아니고, 질량과 시간도 사정이 같습니다. 질량은 쉽게 말해 물체에 물질이 얼마나 들어 있는지를 나타내는 양이고 킬로그램으로 재는데, 정확한 뜻은 뒤에서 뉴턴의 운동 법칙을 배울 때 다시 다듬게 됩니다. 이번에는 사다리 둘을 나란히 세웠는데, 왼쪽이 질량의 사다리이고 오른쪽이 시간의 사다리입니다. 그리고 이어지는 표에는 세 사다리의 양쪽 끝과 사람이 놓인 자리를 간추려 두었습니다 [3].

이 가운데 시간의 사다리는 우리에게 익숙한 단위로 바꾸어 읽으면 한결 실감이 납니다. 가령 하루는 86,400초이므로 $10^5\ \mathrm{s}$ 단계에 있고, 1년은 약 3,200만 초여서 $10^7\ \mathrm{s}$ 단계에 있습니다. 또 사람이 80년을 산다면 그 일생은 약 25억 초이니 $10^9\ \mathrm{s}$ 단계가 되지요. 그런데 우주의 나이는 약 138억 년이고 [6], 이를 초로 고치면 약 $4\times 10^{17}\ \mathrm{s}$ 나 됩니다. 반대로 작은 쪽 끝에서는 눈에 보이는 빛인 가시광선이 한 번 떨리는 데 $10^{-15}\ \mathrm{s}$ 밖에 걸리지 않으니 [3], 우리가 눈 한 번 깜빡이는 사이에도 자연에서는 헤아릴 수 없이 많은 일이 벌어지고 있는 셈입니다.

그리고 이 세 사다리에서 꼭 읽어 내야 할 것은 사람이 놓인 자리입니다. 우리의 감각과 상식은 사다리 한가운데의 몇 칸 안에서 살아가며 길러진 것입니다. 따라서 그 몇 칸을 한참 벗어난 곳에서는 우리의 상식이 통하지 않을 수도 있다는 점을 미리 각오해 두어야 합니다. 사실 이것은 괜한 걱정이 아니라 물리학의 역사에서 실제로 벌어진 일입니다.

규모가 달라지면 지도도 바뀐다

어차피 같은 자연인데, 작은 거나 큰 거나 똑같은 법칙으로 움직이는 거 아냐?

물론 그렇게 기대하는 것이 자연스럽지만, 실제 자연은 그 기대를 그대로 들어주지 않았습니다. 야구공이나 자동차, 행성처럼 원자보다 훨씬 크고 빛보다 훨씬 느린 것들은 뉴턴이 세운 고전역학이라는 지도 한 장으로 놀랄 만큼 정확하게 설명됩니다. 그런데 20세기에 들어 물리학자들이 원자 속을 들여다보고, 또 빛에 가까운 속력으로 움직이는 것들을 다루기 시작하자 이 지도가 더는 맞지 않는 곳이 드러났습니다. 그래서 아주 작은 세계를 위해서는 양자역학이라는 지도가, 아주 빠른 세계를 위해서는 상대성 이론이라는 지도가 새로 그려졌습니다.

어느 지도를 펴야 하는지는 이렇게 대상의 크기와 속력에 따라 네 칸으로 갈립니다. 여기서 빠르다는 것의 기준은 빛의 속력인데, 빛은 1초에 약 30만 km를 달립니다 [4]. 그림의 오른쪽 아래 칸이 고전역학이 맡은 영역이고, 우리가 일상에서 마주치는 거의 모든 것이 이 칸 안에 들어 있습니다. 실제로 앞으로 배울 역학과 파동, 열, 전자기, 빛의 대부분이 이 칸의 이야기이고, 나머지 세 칸은 과목의 끝부분에 가서야 펼쳐 보게 됩니다.

여기서 오해하지 말아야 할 것은, 새 지도가 나왔다고 해서 옛 지도가 쓰레기통으로 간 것이 아니라는 점입니다. 왜냐하면 양자역학과 상대성 이론은 크고 느린 대상에 적용하면 고전역학과 사실상 같은 답을 내놓기 때문입니다. 즉 고전역학은 틀린 지도가 아니라, 더 넓은 지도 가운데 우리 동네만 크게 확대해 놓은 동네 지도인 셈입니다. 그리고 동네 안에서 길을 찾을 때는 세계 지도보다 동네 지도가 훨씬 편하지요. 바로 이런 이유 때문에 오늘날에도 다리를 설계하거나 우주선의 궤도를 계산할 때는 여전히 뉴턴의 역학을 씁니다. 그렇다면 이런 지도는 대체 어떤 과정을 거쳐 그려지고, 또 어떤 과정을 거쳐 고쳐지는 것일까요?

관찰과 가설과 실험은 어떻게 맞물려 돌아가는가

눈에 띈 어긋남에서 시작한다

물리학의 지도는 책상 앞에서 머리만 굴려서 그려지는 것이 아니라, 자연을 들여다보는 데서 시작됩니다. 이렇게 자연에서 벌어지는 일을 눈이나 장치로 살피고 기록하는 것을 관찰이라고 하는데요, 그 가운데서도 특히 값진 것은 지금까지의 지도와 맞지 않는 관찰입니다. 왜냐하면 예상대로 벌어진 일은 우리가 이미 아는 것을 다시 확인해 줄 뿐이지만, 예상에서 어긋난 일은 지도 어딘가가 비어 있거나 잘못 그려졌다는 신호이기 때문입니다.

19세기 천문학자들의 골치를 썩인 천왕성이 바로 그런 경우였습니다. 천왕성은 1781년에 발견된 행성인데, 그 뒤로 위치를 꾸준히 추적해 보니 뉴턴의 중력 법칙으로 계산한 길에서 조금씩 벗어나고 있었습니다 [8]. 물론 벗어나는 정도는 맨눈으로는 도저히 알아챌 수 없을 만큼 작았지만, 망원경으로 재면 분명히 드러났고 측정을 되풀이해도 사라지지 않았습니다. 다시 말해 실수라고 넘겨 버릴 수 없는 어긋남이 눈앞에 놓인 것입니다. 그렇다면 과학자는 이런 어긋남을 만났을 때 무엇을 할까요?

가설은 확인할 수 있는 예측을 내놓아야 한다

어긋남을 마주한 과학자가 다음에 하는 일은 그 까닭을 설명하는 생각을 내놓는 것인데, 이것을 가설이라고 부릅니다. 천왕성의 경우에는 생각해 볼 수 있는 길이 두 갈래 있었습니다. 하나는 뉴턴의 중력 법칙 자체가 먼 곳에서는 맞지 않는다고 보는 것이고, 다른 하나는 법칙은 옳은데 우리가 아직 모르는 무언가가 천왕성을 끌어당기고 있다고 보는 것입니다. 이 가운데 프랑스의 르베리에와 영국의 애덤스는 둘째 길을 택해서, 천왕성 바깥에 아직 발견되지 않은 행성이 하나 더 있다고 보고 저마다 그 자리를 계산했습니다 [8].

가설이면 그냥 그럴듯하게 찍은 거잖아. 찍는 건 나도 하겠다.

하지만 그럴듯한 생각을 내놓는 것만으로는 아직 과학이라고 할 수 없습니다. 가설이 과학의 가설이 되려면 반드시 갖추어야 할 것이 하나 있는데, 그것은 맞는지 틀리는지를 가려낼 수 있는 결과를 내놓아야 한다는 점입니다. 가령 천왕성이 길에서 벗어나는 것은 눈에 보이지 않는 어떤 기운 때문이라고 말하면 그럴듯하게는 들리지만, 무엇을 어떻게 확인해야 할지가 나오지 않으므로 맞았다고도 틀렸다고도 할 수 없습니다. 반면에 르베리에는 미지의 행성이 천왕성을 관측된 만큼 끌어당기려면 지금 하늘의 어느 자리에 있어야 하는지를 계산해서 숫자로 내놓았습니다. 즉 그 자리에 망원경을 돌렸는데도 행성이 없으면 틀린 것으로 판가름이 나도록, 가설을 스스로 시험대에 올려놓은 것이지요.

이처럼 가설에서 따져서 끌어낸, 확인할 수 있는 결과를 예측이라고 합니다. 좋은 예측일수록 구체적인 숫자를 담고 있고, 그래서 틀릴 위험도 큽니다. 얼핏 생각하면 틀릴 위험이 크다는 것이 약점처럼 보이지만 실제로는 정반대입니다. 왜냐하면 얼마든지 틀릴 수 있었는데도 맞아떨어졌을 때에야 비로소 우리는 그 가설을 믿을 이유를 얻기 때문입니다. 반대로 어떤 결과가 나와도 맞았다고 둘러댈 수 있는 말은 아무것도 걸지 않은 말이어서, 맞아도 얻는 것이 없습니다.

해왕성은 종이 위에서 먼저 발견되었다

그리고 르베리에의 예측은 곧바로 시험대에 올랐습니다. 그는 계산 결과를 베를린 천문대의 갈레에게 편지로 보냈고, 갈레는 편지를 받은 1846년 9월 23일 밤에 망원경을 그 자리로 돌려 새 행성을 찾아냈습니다 [8]. 게다가 새 행성이 있던 곳은 예측한 자리에서 겨우 1도 떨어진 곳이었습니다 [8]. 아마 1도가 어느 정도인지 감이 잘 오지 않으실 텐데, 보름달의 겉보기 지름이 약 0.5도이므로 보름달 두 개를 나란히 놓은 폭이라고 생각하시면 됩니다. 드넓은 밤하늘에서 그만한 차이로 자리를 짚어 냈으니 과녁의 한복판을 맞힌 것이나 다름없지요. 이 행성이 바로 맨 위 사진의 해왕성입니다.

그런데 이 사건이 두고두고 이야기되는 까닭은 행성을 하나 더 찾았기 때문만이 아닙니다. 해왕성은 망원경으로 하늘을 훑다가 우연히 걸린 것이 아니라, 수학 계산으로 자리를 먼저 짚은 뒤에 찾아낸 첫 행성이었습니다 [8]. 앞에서 물리학의 지도는 가 보지 않은 땅에 무엇이 있을지까지 알려 준다고 말씀드렸는데, 그 말이 가리키는 것이 바로 이런 일입니다. 게다가 얼마든지 틀릴 수 있었던 예측이 맞아떨어진 덕분에, 뉴턴의 중력 이론은 태양계의 끝자락에서도 통한다는 믿음까지 얻게 되었습니다.

지금까지의 흐름을 그림으로 옮기면 위와 같은 고리가 됩니다. 즉 관찰에서 가설이 나오고, 가설에서 예측이 나오고, 그 예측을 실험이나 관측으로 확인하는 것이지요. 여기서 실험은 조건을 우리가 직접 꾸며 놓고 결과를 살피는 것을 말하고, 관측은 천체처럼 손댈 수 없는 대상을 지켜보는 것을 말합니다. 물론 예측을 자연에 직접 물어본다는 점에서는 둘이 하는 일이 같습니다. 그리고 그렇게 얻은 결과는 다시 새로운 관찰이 되어 고리의 처음으로 돌아갑니다.

같은 방법이 수성에서는 통하지 않았다

그런데 이 이야기에는 덜 알려진 뒷이야기가 있습니다. 해왕성으로 큰 성공을 거둔 르베리에는 1859년에 또 하나의 어긋남을 발표했는데, 이번에는 태양에 가장 가까운 행성인 수성이 문제였습니다 [9]. 수성은 길쭉한 타원 궤도를 도는데 이 타원 자체가 아주 천천히 돌아가고 있었고, 다른 행성들이 끌어당기는 효과를 모두 셈에 넣어도 설명되지 않는 몫이 남았던 것입니다. 오늘날의 값으로 그 남는 몫은 100년에 43각초입니다 [9]. 여기서 1각초는 1도를 3,600으로 나눈 각이므로 43각초는 약 0.012도에 지나지 않는데, 100년을 기다려야 겨우 그만큼 어긋나는 것을 잡아냈다는 사실이 그저 놀라울 따름입니다.

이번에도 르베리에는 해왕성 때와 똑같은 방법을 썼습니다. 즉 수성 궤도 안쪽, 태양 바로 곁에 아직 발견되지 않은 행성이 하나 더 있어서 수성을 끌어당긴다고 본 것인데요, 이 가상의 행성에는 벌컨이라는 이름까지 붙었습니다. 가설의 모양도 같았고 계산하는 방법도 같았으므로, 이번에도 곧 새 행성이 발견되리라고 많은 사람이 기대했습니다. 하지만 결과는 전혀 달랐습니다. 그 뒤로 천문학자들이 거듭 태양 근처를 뒤졌는데도 벌컨은 끝내 확인되지 않았던 것입니다.

결국 수수께끼가 풀린 것은 반세기도 더 지난 1915년이었습니다. 아인슈타인이 중력을 전혀 새로운 방식으로 설명하는 일반 상대성 이론을 내놓았는데, 이 이론으로 수성의 궤도를 계산하자 남아 있던 43각초가 그대로 나왔습니다 [9]. 다시 말해 수성 곁에 모르는 행성이 있었던 것이 아니라, 태양처럼 무거운 천체 바로 가까이에서는 뉴턴의 중력 이론이라는 지도 자체가 조금 맞지 않았던 것입니다. 물론 일반 상대성 이론이 무엇인지는 과목의 끝부분에서 만나게 되므로, 지금은 지도가 통째로 새로 그려졌다는 사실만 기억해 두시면 됩니다.

이제 두 사건을 나란히 놓고 한 줄씩 견주어 보시기 바랍니다. 관찰에서 가설을 거쳐 예측에 이르는 과정은 양쪽이 판박이처럼 같은데, 자연에 물어본 결과가 달랐고 그래서 결말도 달라졌습니다. 즉 왼쪽에서는 모르는 행성이 정말로 있었으므로 기존의 이론이 더 믿을 만해졌고, 오른쪽에서는 그런 행성이 없었으므로 이론 자체를 고쳐야 했습니다. 어떻습니까? 같은 사람이 같은 방법을 썼는데도 한 번은 맞고 한 번은 틀렸다는 점이 흥미롭지 않습니까?

한 번에 끝나지 않고 계속 도는 이유

이 두 사건에서 꼭 배워야 할 것은, 가설이 옳은지 그른지를 판가름하는 것이 사람이 아니라 자연이라는 점입니다. 실제로 르베리에는 해왕성으로 이미 실력을 증명한 천문학자였지만, 그의 명성이 벌컨을 하늘에 만들어 주지는 못했습니다. 다시 말해 아무리 권위 있는 사람의 생각이라도, 또 아무리 아름답고 그럴듯한 가설이라도 실험이나 관측과 어긋나면 고쳐야 합니다. 이것이 과학을 다른 지식과 구별해 주는 가장 큰 특징입니다.

그리고 고리가 한 바퀴로 끝나지 않는다는 점도 눈여겨보아야 합니다. 예측이 맞으면 그 가설을 더 믿게 되지만, 그렇다고 영원히 옳다고 증명된 것은 아닙니다. 뉴턴의 중력 이론은 해왕성에서 눈부시게 성공했는데도 수성에서는 한계를 드러냈으니까요. 반대로 예측이 어긋나면 가설을 고치거나 버리고 다시 고리를 돌게 되는데, 수성의 경우처럼 그 과정에서 더 넓은 지도가 태어나기도 합니다. 따라서 과학의 지식은 한 번 다 지으면 끝나는 건물이 아니라, 새 관찰이 들어올 때마다 고쳐 그려지는 지도에 가깝습니다.

그럼 과학자들은 무조건 관찰, 가설, 예측, 실험 순서대로만 연구하는 거야?

물론 꼭 그렇지는 않습니다. 교과서에는 흔히 과학의 방법이 정해진 차례를 밟는 요리법처럼 적혀 있지만, 모든 과학자가 따르는 단 하나의 방법이 있다는 생각은 널리 퍼진 오해라는 것이 과학 교육 연구자들의 지적입니다 [10]. 실제로는 이론 계산이 먼저 나오고 한참 뒤에야 실험이 따라오기도 하고, 우연히 얻은 실험 결과가 아무도 묻지 않았던 질문을 던지기도 합니다. 그러므로 고리 그림은 반드시 지켜야 할 차례라기보다, 생각과 자연을 끊임없이 맞대어 본다는 정신을 그린 것으로 받아들이시기 바랍니다. 그런데 지금까지 이야기하면서 모형과 이론과 법칙이라는 말을 별 구분 없이 섞어 썼습니다. 이 세 낱말은 과연 같은 뜻일까요?

모형과 이론과 법칙은 무엇이 다른가

모형은 대상을 줄여 그린 지도이다

먼저 모형부터 짚어 보겠습니다. 모형은 직접 보여 주기 어렵거나 너무 복잡한 대상을 다루기 쉽게 줄여서 나타낸 것을 말하는데 [3], 앞에서 줄곧 지도에 빗대어 온 것이 바로 이것입니다. 그리고 모형에는 꼭 기억해 두어야 할 성질이 두 가지 있습니다. 하나는 모형이 대상의 모든 면이 아니라 어떤 면만을 정확하게 담는다는 것이고 [3], 다른 하나는 그래서 같은 대상에 대해서도 쓰임새에 따라 여러 모형이 있을 수 있다는 것입니다.

이 점은 지도의 종류를 떠올려 보면 금방 이해가 됩니다. 예를 들어 지하철 노선도는 역의 차례와 갈아타는 곳을 정확하게 알려 주지만 역 사이의 실제 거리는 엉터리로 그려져 있고, 반대로 등산 지도는 땅의 높낮이를 꼼꼼하게 알려 주지만 지하철에 관해서는 아무것도 말해 주지 않습니다. 그렇다고 둘 가운데 어느 쪽이 진짜 지도냐고 묻는 사람은 없을 것입니다. 왜냐하면 좋은 지도인지 아닌지는 땅과 얼마나 똑같으냐가 아니라, 지금 알고 싶은 것을 알려 주느냐로 정해지기 때문입니다.

통계학자 조지 박스는 이 생각을 한층 더 밀고 나가, 모든 모형은 틀렸다고까지 말했습니다 [11]. 물론 틀렸다는 말이 지나치게 들릴 수도 있지만, 줄여 그린 이상 대상과 똑같을 수는 없다는 뜻으로 받아들이면 됩니다. 따라서 모형을 두고 던져야 할 질문은 이 모형이 참이냐가 아닙니다. 우리가 물어야 할 것은 이 모형이 지금의 질문에 답하는 데 쓸모가 있느냐입니다.

원자 모형은 여러 번 고쳐 그려졌다

그런데 모형은 한 번 그리면 끝나는 것이 아니고, 이를 가장 잘 보여 주는 것이 원자 모형의 역사입니다. 원자는 너무 작아서 20세기 초의 과학자들은 그 속을 직접 볼 길이 없었고, 그래서 실험 결과에 맞는 그림을 머릿속으로 그려야 했습니다. 먼저 1904년에 톰슨은 양전하를 띤 물질 속에 음전하를 띤 전자가 박혀 있는 모형을 내놓았는데 [12], 그 모습이 건포도가 박힌 푸딩 같다고 해서 푸딩 모형이라고도 불립니다 [13]. 여기서 전하는 전기를 띠게 하는 성질을 말하고 양과 음의 두 종류가 있는데, 자세한 내용은 뒤에서 전기를 배울 때 다루게 됩니다.

그런데 1909년에 이 모형으로는 도저히 설명할 수 없는 실험 결과가 나왔습니다. 러더퍼드의 연구실에서 가이거와 마스든이 얇은 금박에 알파 입자라는 빠른 알갱이를 쏘아 보았더니, 수천 개에 하나꼴로 알갱이가 90도 넘게 꺾여 튕겨 나왔던 것입니다 [13]. 맨 위의 도해가 바로 이 실험을 그린 것인데, 양전하가 원자 전체에 묽게 퍼져 있다면 알파 입자는 거의 곧장 뚫고 지나가야 합니다. 그래서 러더퍼드는 이 결과를 두고 휴지에 대포알을 쏘았더니 되튀어 나온 격이라고 놀라워했습니다 [13].

결국 러더퍼드는 1911년에 지도를 새로 그렸습니다. 양전하와 질량의 대부분이 원자 한가운데의 아주 작은 핵에 몰려 있고 전자가 그 둘레를 돈다는 모형이었는데, 핵의 크기는 원자의 10만분의 1쯤밖에 되지 않습니다 [13]. 이는 원자를 길이 100 m인 축구장만큼 키워 놓아도 핵은 1 mm짜리 모래알에 지나지 않는다는 뜻이니, 원자의 속은 사실상 텅 비어 있는 셈이지요. 그러나 이 모형에도 구멍이 있었습니다. 당시의 이론대로라면 핵 둘레를 도는 전자는 에너지를 잃으면서 핵으로 빨려 들어가야 했기 때문인데, 보어는 1913년에 전자가 정해진 궤도에만 머무를 수 있다는 새 모형으로 이 문제를 풀고 수소가 내는 빛까지 설명해 냈습니다 [12].

세 모형 사이에 놓인 화살표 두 개는 모두 실험이 등을 떠민 자리입니다. 즉 새 모형은 누군가의 취향 때문에 나온 것이 아니라, 앞의 모형이 설명하지 못하는 관찰이 나올 때마다 고쳐 그려졌습니다. 그리고 보어 모형도 끝이 아니어서, 오늘날의 물리학은 전자가 행성처럼 궤도를 돈다는 그림마저 버렸습니다. 그런데도 보어 모형은 수소 원자가 내는 빛을 계산할 때 지금도 요긴하게 쓰입니다. 왜냐하면 낡은 지도라도 쓸 수 있는 범위 안에서는 여전히 훌륭한 지도이기 때문입니다.

법칙은 무슨 일이 벌어지는지를 말한다

이번에는 법칙을 살펴보겠습니다. 법칙은 자연에서 되풀이해서 나타나는 규칙을 짧게 간추린 것으로, 흔히 식 하나로 적을 수 있습니다 [3]. 예를 들어 바늘을 뺀 주사기의 입구를 손가락으로 막고 피스톤을 눌러 보면, 깊이 누를수록 손이 점점 더 세게 되밀리는 것을 느낄 수 있습니다. 이것을 정밀하게 재어 보면 온도가 변하지 않는 한 기체의 부피를 절반으로 줄일 때 압력이 두 배가 되고, 3분의 1로 줄일 때 세 배가 된다는 규칙이 드러나는데, 이 규칙이 바로 보일 법칙입니다.

기체의 압력을 $P$, 부피를 $V$ 라고 쓰면 보일 법칙은 다음과 같이 아주 짧게 적을 수 있습니다.

$$ PV=\text{일정} $$

이 식은 $P$ 와 $V$ 를 곱한 값이 누르기 전이나 누른 뒤나 달라지지 않는다는 뜻입니다. 가령 부피가 60 mL에서 30 mL로 줄었다면 곱이 그대로 유지되기 위해 압력은 두 배가 되어야 하는 것이지요. 여기서 눈여겨볼 것은 이 법칙이 말해 주는 범위입니다. 법칙은 무슨 일이 벌어지는지는 정확하게 알려 주지만, 왜 그런 일이 벌어지는지에 대해서는 한마디도 하지 않습니다. 물론 압력과 기체에 관한 자세한 내용은 뒤에서 열역학을 배울 때 다루게 되므로, 지금은 법칙이라는 것이 어떤 성격의 지식인지만 붙잡고 넘어가겠습니다.

이론은 왜 그런지를 설명한다

그렇다면 법칙이 답하지 않은 질문, 곧 왜 그런가에는 무엇이 답할까요? 그것이 바로 이론입니다. 이론은 자연에서 나타나는 규칙들이 왜 생기는지를 설명하는 체계로서, 여러 연구자가 거듭 확인한 증거로 뒷받침된 것을 말합니다 [3]. 예를 들어 기체의 경우에는 기체 분자 운동론이 그 일을 합니다. 이 이론에 따르면 기체는 눈에 보이지 않는 수많은 분자가 사방으로 날아다니는 것이고, 그 분자들이 그릇의 벽을 끊임없이 두드리는 것이 곧 압력입니다.

이 설명을 받아들이면 보일 법칙은 더 이상 신기한 규칙이 아니게 됩니다. 왜냐하면 부피를 절반으로 줄이면 같은 수의 분자가 절반의 공간에 갇히게 되므로, 분자들이 벽을 두드리는 횟수가 두 배로 늘어나고 따라서 압력도 두 배가 되기 때문입니다. 게다가 이론은 법칙 하나를 설명하는 데서 그치지 않습니다. 기체를 데우면 압력이 올라가는 까닭도, 방 한쪽에서 뿌린 향수 냄새가 반대쪽까지 퍼지는 까닭도 분자가 날아다닌다는 같은 생각으로 한꺼번에 설명되지요. 이처럼 여러 현상을 하나로 꿰어 설명하는 힘이 이론의 가장 큰 특징입니다.

그리고 이 이론의 밑바닥에는 모형이 하나 깔려 있습니다. 기체 분자를 크기가 없는 점으로 보고, 분자끼리는 부딪칠 때 말고는 서로 힘을 주고받지 않는다고 보는 이상 기체 모형이 그것입니다. 결국 기체라는 하나의 대상에 모형과 법칙과 이론이 모두 붙어 있고, 셋은 저마다 다른 질문에 답하고 있는 셈입니다.

여기서 눈여겨볼 곳은 그림에서는 화살표의 방향이고, 표에서는 답하는 질문 줄입니다. 법칙은 현상에서 규칙을 간추린 것이고, 이론은 그 규칙을 설명하는 것이고, 모형은 이론이 딛고 서는 발판입니다. 그러므로 셋 가운데 어느 것이 더 높거나 더 확실하다고 줄을 세울 수는 없습니다.

이론이 자라서 법칙이 된다는 오해

이론은 아직 증명이 덜 된 거고, 완전히 증명되면 법칙으로 올라가는 거 아니었어?

혹시 이렇게 알고 계셨다면 오늘 반드시 바로잡고 가시기 바랍니다. 이것은 과학에 관한 오해 가운데서도 손꼽히게 널리 퍼진 것인데요 [10], 서울의 고등학생 32명을 조사한 국내 연구에서도 이론은 아직 증명되지 않은 것이고 법칙은 증명된 것이라는 생각과, 증거가 충분히 쌓이면 이론이 법칙이 된다는 생각이 그대로 확인되었습니다 [14]. 그러나 방금 살펴본 대로 법칙과 이론은 하는 일이 서로 다릅니다. 즉 기체 분자 운동론을 뒷받침하는 증거가 아무리 쌓여도 그것이 보일 법칙으로 바뀌지는 않는데, 설명이 요약으로 변할 수는 없기 때문입니다 [10].

사실 이런 오해가 생기는 데는 일상에서 쓰는 말버릇도 한몫을 합니다. 우리는 평소에 그건 네 이론일 뿐이라는 식으로 이론이라는 말을 근거가 약한 짐작이라는 뜻으로 쓰곤 합니다. 하지만 과학에서 말하는 이론은 전혀 다른 것이어서, 미국 국립과학원은 과학의 이론을 방대한 증거로 뒷받침되는 포괄적인 설명이라고 풀이합니다 [15]. 따라서 상대성 이론이나 기체 분자 운동론에 붙은 이론이라는 말은 아직 덜 믿을 만하다는 뜻이 결코 아닙니다. 오히려 수많은 시험을 견디고 살아남은 설명에만 붙는 이름이라고 보아야 합니다.

그렇다면 가설은 이 그림에서 어디에 놓일까요? 가설은 아직 시험을 거치고 있는 생각이고, 시험을 견뎌 낸 가설은 그 성격에 따라 법칙의 일부가 되기도 하고 이론의 일부가 되기도 합니다 [10]. 다시 말해 규칙을 짐작한 가설은 법칙 쪽으로, 까닭을 짐작한 가설은 이론 쪽으로 가는 것이지 가설에서 이론을 거쳐 법칙으로 올라가는 외길 계단이 있는 것이 아닙니다.

어떤 법칙과 이론에도 쓸 수 있는 범위가 있다

마지막으로 짚어 둘 것은, 법칙이라는 이름이 붙었다고 해서 언제 어디서나 성립하는 것은 아니라는 점입니다. 실제로 보일 법칙만 해도 기체를 아주 세게 누르거나 아주 차갑게 식히면 눈에 띄게 어긋나기 시작합니다. 그 이유는 분자들이 바짝 붙게 되면 분자 자체의 크기와 분자끼리 끌어당기는 힘을 더는 무시할 수 없게 되어, 밑바닥에 깔아 둔 이상 기체 모형이 맞지 않게 되기 때문입니다. 앞에서 본 뉴턴의 중력 법칙이 수성 앞에서 한계를 드러낸 것도 같은 종류의 일이었습니다.

결국 법칙과 이론도 모형과 마찬가지로 축척이 정해진 지도입니다. 메르카토르 지도가 방향을 잡는 데는 쓸 수 있어도 넓이를 견주는 데는 쓸 수 없었던 것처럼, 모든 법칙에는 그것이 성립하는 조건이 딸려 있습니다. 따라서 앞으로 새 법칙을 만날 때마다 식만 적어 두지 말고, 어떤 조건에서 성립하는지를 반드시 함께 적어 두시기 바랍니다. 자, 이제 낱말 정리는 끝났으니 물리학에서 가장 먼저, 그리고 가장 자주 쓰게 될 모형 하나를 직접 만들어 볼 차례입니다.

던진 공을 점 하나로 보아도 되는 까닭

야구공에서 지워도 되는 것들

모형을 만들 때 가장 먼저 할 일은 무엇을 알고 싶은지를 정하는 것입니다. 처음에 꺼냈던 야구공으로 돌아가서, 우리가 알고 싶은 것이 공이 어디에 떨어지느냐라고 해 봅시다. 이렇게 질문이 정해지고 나면 공이 가진 수많은 성질을 하나씩 저울에 올려서, 떨어지는 자리에 얼마나 영향을 주는지를 따져 볼 수 있습니다. 예를 들어 공의 색깔이나 겉에 찍힌 상표는 떨어지는 자리를 조금도 바꾸지 못하므로 망설일 것 없이 지워도 됩니다.

그리고 공의 크기는 조금 더 따져 보아야 하지만 결론은 같습니다. 가령 지름이 7 cm인 공을 20 m 멀리 던진다고 하면 공의 크기는 날아가는 거리의 약 300분의 1에 지나지 않는데, 떨어지는 자리를 한 뼘 안팎으로 맞히려는 사람에게 이 정도는 있으나 마나 한 값입니다. 반면에 회전과 공기는 사정이 조금 다릅니다. 가볍게 던진 공이라면 둘 다 영향이 작아서 지워도 괜찮지만, 투수가 힘껏 던진 변화구라면 바로 그 회전과 공기 때문에 공이 휘는 것이므로 지워서는 안 됩니다.

이 가운데 우선 지운다고 적은 두 줄을 특히 눈여겨보시기 바랍니다. 색깔은 언제나 지워도 되지만 회전과 공기는 조건에 따라 지워도 될 때가 있고 안 될 때가 있어서, 일단 지우고 계산한 다음 결과가 실제와 맞지 않으면 되살려야 하기 때문입니다. 즉 무엇을 지울지는 미리 정해져 있는 것이 아니라, 질문과 상황에 따라 그때그때 판단해야 하는 일입니다. 사실 물리 문제가 어렵게 느껴지는 까닭의 절반은 계산이 아니라 바로 이 판단에 있습니다.

입자 모형이라는 가장 단순한 지도

이렇게 크기와 모양, 회전까지 모두 지우고 나면 공은 질량만 가진 점 하나가 됩니다. 물체를 이처럼 크기가 없는 점으로 보는 것을 입자 모형이라고 부르는데, 대학 물리 교재들이 맨 앞머리에서 모형을 소개할 때 가장 먼저 꺼내는 것이 바로 이 모형입니다 [16]. 물론 입자라는 말은 본래 작은 알갱이를 뜻하지만, 물리학에서는 실제 크기와 상관없이 점으로 취급하기로 한 물체를 모두 입자라고 부릅니다. 따라서 야구공도 입자가 될 수 있고, 조금 뒤에 보겠지만 지구도 입자가 될 수 있습니다.

그렇다면 입자 모형은 왜 그토록 고마운 모형일까요? 그 이유는 물체의 운동을 적는 일이 엄청나게 간단해지기 때문입니다. 크기가 있는 공의 움직임을 빠짐없이 적으려면 공의 한가운데가 어디에 있는지, 공이 어느 쪽을 향하고 있는지, 얼마나 빨리 도는지를 모두 적어야 합니다. 그런데 점에는 방향도 회전도 없으므로, 어느 시각에 어디에 있는지만 적으면 운동을 다 적은 것이 됩니다. 맨 위의 사진을 다시 보면 이 말이 실감 나는데요, 우리 눈은 공의 실밥이나 회전을 보는 것이 아니라 공이 찍힌 자리들을 이은 매끄러운 곡선을 보고 있습니다. 다시 말해 우리는 이미 머릿속에서 공을 점으로 바꾸어 보고 있는 것이지요.

언제 점으로 보아도 되고 언제 안 되는가

그러면 어떤 물체를 점으로 보아도 되는지는 어떻게 알 수 있을까요? 두 가지만 따져 보면 됩니다. 하나는 물체의 크기가 물체가 움직이는 범위에 견주어 충분히 작은가이고, 다른 하나는 지금 알고 싶은 것이 물체의 회전이나 속사정과 관계가 없는가입니다. 이 두 가지가 모두 채워지면 그 물체가 야구공이든 자동차든 마음 놓고 점으로 바꾸어도 됩니다.

이 기준을 지구에 적용해 보면 재미있는 결과가 나옵니다. 지구의 반지름은 6,371 km이고 지구가 태양 둘레를 도는 궤도의 반지름은 약 1억 4,960만 km이므로 [5], 지구의 크기는 궤도 크기의 약 23,500분의 1에 지나지 않습니다. 이는 궤도를 반지름 1 m짜리 원으로 줄여 그렸을 때 지구가 반지름 0.04 mm짜리 점이 된다는 뜻인데, 머리카락 한 올의 굵기와 비슷한 크기입니다. 따라서 지구가 1년 동안 태양 둘레를 어떻게 도는지를 물을 때는 지구를 입자로 보아도 전혀 문제가 없습니다.

그럼 지구가 점이라는 거야, 공이라는 거야? 하나로 정해야지.

하지만 하나로 정할 필요도 없고, 정해서도 안 됩니다. 왜냐하면 지구를 무엇으로 볼지는 지구가 정하는 것이 아니라 우리가 던진 질문이 정하기 때문입니다. 가령 낮과 밤이 왜 번갈아 오는지를 묻는다면 지구가 스스로 돈다는 사실이 핵심이므로, 지구를 점이 아니라 도는 공으로 보아야 합니다. 또 다리가 자동차의 무게를 버틸 수 있는지를 묻는다면 지구가 둥글다는 것조차 잊고 평평한 땅으로 보아도 충분하지요. 이는 세계 지도에서는 점 하나로 찍히는 서울이 시내 지도에서는 종이를 가득 채우는 넓은 면이 되는 것과 조금도 다르지 않습니다.

세 칸은 모두 같은 지구를 서로 다른 축척의 지도에 옮긴 것이라고 보시면 됩니다. 그리고 작은 공에도 똑같은 일이 생깁니다. 사진 속에서 튀어 오르던 공은 날아가는 동안에는 점으로 보아도 아무 탈이 없지만, 바닥에 부딪히는 짧은 순간에는 눈에 띄게 찌그러졌다가 펴집니다. 그러므로 공이 얼마나 높이 되튀는지를 알고 싶다면, 바로 그 찌그러짐이 문제의 핵심이 되어 입자 모형으로는 답할 수 없게 됩니다.

마찰 없는 바닥과 무게 없는 줄

입자 모형처럼 결과를 거의 바꾸지 않는 것을 아예 없다고 치는 일을 이상화라고 합니다. 앞으로 문제를 풀다 보면 마찰이 없는 바닥, 무게가 없는 줄, 공기가 없는 공간 같은 말을 수없이 만나게 될 텐데, 이것들이 모두 이상화입니다. 여기서 마찰은 서로 닿은 면이 미끄러지는 것을 방해하는 힘을 말하는데, 그 정확한 뜻과 계산법은 뒤에서 뉴턴 법칙을 응용할 때 배우게 됩니다.

마찰 없는 바닥이 세상에 어디 있어? 있지도 않은 걸 풀어 봤자 쓸모없는 거 아냐?

많은 분들이 여기서 고개를 갸웃하지만, 이상화는 현실을 외면하는 것이 아니라 현실로 다가가는 가장 빠른 길입니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 우선 잘 닦인 얼음판 위를 미끄러지는 물체처럼 마찰이 정말로 작은 경우에는 마찰을 지운 계산이 실제와 꽤 잘 맞습니다. 게다가 마찰을 지우고 나면 운동을 지배하는 가장 굵은 뼈대가 먼저 드러나므로, 무엇이 본질이고 무엇이 곁가지인지를 가려낼 수 있게 됩니다. 그리고 뼈대를 익힌 뒤에는 지웠던 것을 하나씩 되살려 가면서 실제에 차근차근 다가가면 됩니다.

사실 지도를 그리는 차례도 이와 똑같습니다. 처음부터 골목길과 가로등까지 다 그려 넣으려는 사람은 지도를 끝내지 못하므로, 큰길만 그린 지도를 먼저 완성하고 필요한 곳에만 골목을 덧그려야 합니다. 물리학도 마찬가지여서 마찰과 공기 저항은 뼈대가 되는 법칙을 세운 다음에 하나씩 얹어 가게 됩니다.

이상화가 틀리는 자리를 알아야 한다

다만 이상화에는 반드시 지켜야 할 조건이 붙습니다. 지운 것이 결과를 거의 바꾸지 않을 때에만 써야 한다는 것인데, 이 조건이 깨지는 모습은 집에서도 쉽게 확인할 수 있습니다. 먼저 똑같은 종이 두 장을 준비해서 한 장은 그대로 두고 다른 한 장은 단단히 구겨 공처럼 만든 다음, 같은 높이에서 동시에 놓아 보시기 바랍니다. 그러면 구긴 종이는 곧장 떨어지지만 펼친 종이는 좌우로 팔랑거리면서 한참 뒤에야 바닥에 닿습니다.

이 실험이 말해 주는 바는 분명합니다. 두 종이는 질량이 똑같으므로, 공기를 지운 입자 모형으로 보면 둘은 구별조차 되지 않는 같은 점입니다. 그런데 실제로는 전혀 다르게 떨어졌으니, 펼친 종이에게 공기는 지워서는 안 되는 것이었다는 뜻이지요. 즉 같은 이상화가 구긴 종이에게는 훌륭한 지도였지만 펼친 종이에게는 엉터리 지도였던 것입니다.

그러므로 이상화를 쓸 때마다 두 가지를 스스로 물어보시기 바랍니다. 하나는 지금 내가 무엇을 지웠는가이고, 다른 하나는 지운 것이 이 상황에서 정말로 작은가입니다. 물론 가능하다면 앞에서 지구의 크기를 궤도의 크기와 견주었던 것처럼 숫자로 견주어 보는 것이 가장 확실합니다. 자, 이제 모형을 세우는 법은 알았습니다. 그렇다면 그 모형이 말해 주는 내용은 어떤 모습으로 적어 두어야 할까요?

같은 운동을 그림과 표와 그래프와 식으로 옮기기

말로 적은 운동은 어디가 모자란가

같은 땅을 노선도로도 그리고 지형도로도 그리듯이, 같은 운동도 여러 가지 모습으로 적을 수 있습니다. 그 가운데 가장 손쉬운 방법은 말로 적는 것입니다. 예를 들어 손에 쥐고 있던 공을 가만히 놓았을 때 벌어지는 일은, 공이 점점 빨라지면서 아래로 떨어졌다는 한 문장으로 적을 수 있습니다. 말은 따로 배우지 않아도 누구나 알아듣는다는 큰 장점이 있고, 그래서 어떤 상황인지를 전하는 데는 말만 한 것이 없습니다.

그런데 이 문장에 질문을 몇 개 던져 보면 말의 한계가 곧바로 드러납니다. 공을 놓고 0.3초가 지났을 때 공은 얼마나 내려와 있을까요? 또 점점 빨라진다고 했는데 얼마나 빨리 빨라지는 것일까요? 아쉽지만 방금의 문장은 이런 물음에 하나도 답하지 못합니다. 즉 말은 무슨 일이 벌어졌는지는 알려 주지만 얼마나라는 물음 앞에서는 입을 다물고 마는데, 물리학이 말에서 멈추지 않고 다른 표현을 찾아 나서는 까닭이 여기에 있습니다.

그림으로 옮기면 한눈에 보인다

말 다음으로 꺼낼 수 있는 표현은 그림입니다. 맨 위의 사진은 섬광을 1초에 20번씩 터뜨리면서 떨어지는 공을 반 초 동안 찍은 것으로, 0.05초마다 공이 있던 자리가 한 장에 차례로 찍혀 있습니다 [17]. 그리고 이 사진을 보는 순간 말로는 전하기 어려웠던 것이 한눈에 들어옵니다. 위쪽에서는 공들이 촘촘하게 붙어 있는데 아래로 갈수록 간격이 눈에 띄게 벌어지고 있지요. 여기서 섬광 사이의 시간은 늘 같으므로, 간격이 벌어진다는 것은 같은 시간 동안 공이 점점 더 멀리 간다는 뜻이고 그것이 곧 빨라진다는 말입니다.

이번에는 같은 운동을 0.1초 간격으로 다시 그리고 옆에 눈금자를 세웠습니다. 여기서 공은 앞에서 배운 입자 모형에 따라 점으로 그렸고, 공기의 영향은 없다고 쳤습니다. 그림 오른쪽의 파란 막대를 보면 처음 0.1초 동안에는 0.049 m를 갔는데 마지막 0.1초 동안에는 0.441 m를 갔으니, 같은 시간 동안 간 거리가 아홉 배로 늘어난 셈입니다. 이처럼 일정한 시간마다 물체의 자리를 찍어 놓은 그림은 뒤에서 직선 운동을 배울 때 본격적으로 쓰게 됩니다. 다만 그림에도 아쉬운 점은 있어서, 숫자를 따로 적어 넣지 않는 한 그림만 보고 정확한 값을 읽어 내기는 어렵습니다.

표로 옮기면 숫자가 남는다

그래서 정확한 값이 필요하다면 그림 속의 숫자를 뽑아서 표로 옮기면 됩니다. 공을 놓은 뒤 흐른 시간을 $t$, 그동안 공이 떨어진 거리를 $d$ 라고 쓰기로 하면 그림 속의 여섯 자리는 다음과 같은 표가 됩니다. 시간은 초(s)로, 거리는 미터(m)로 적었습니다.

표의 가장 큰 장점은 숫자가 정확하게 남는다는 것입니다. 이제는 0.3초 뒤에 공이 얼마나 내려와 있느냐는 물음에 0.441 m라고 곧바로 답할 수 있습니다. 게다가 숫자를 나란히 놓고 보면 그림에서는 눈에 잘 띄지 않던 사실도 드러나는데, 시간이 0.1초에서 0.2초로 두 배가 될 때 떨어진 거리는 0.049 m에서 0.196 m로 네 배가 됩니다. 그리고 시간이 세 배인 0.3초에서는 거리가 0.441 m로 아홉 배가 되지요. 이 수상한 규칙은 조금 뒤에 다시 들여다보겠습니다.

물론 표에도 약점이 있습니다. 표는 적어 놓은 칸의 값만 알려 주므로 0.25초처럼 칸과 칸 사이에 있는 시각에 대해서는 아무 말도 해 주지 못합니다. 또 숫자만 늘어서 있다 보니 전체가 어떤 모양으로 변해 가는지를 한눈에 알아보기도 쉽지 않습니다.

그래프로 옮기면 변화의 모양이 드러난다

표의 이 두 가지 약점을 한꺼번에 메워 주는 것이 그래프입니다. 가로축에 시간을, 세로축에 떨어진 거리를 놓고 표의 여섯 칸을 점으로 찍은 다음 점들을 매끄럽게 이으면 아래와 같은 그래프가 됩니다.

이 그래프에서 가장 먼저 읽어야 할 것은 선의 모양입니다. 만약 공이 늘 같은 빠르기로 떨어진다면 같은 시간마다 같은 거리가 더해지므로 점들이 곧은 직선 위에 놓였을 것입니다. 그런데 실제로는 선이 위쪽으로 휘어 올라가고 있는데요, 이는 오른쪽으로 갈수록 같은 시간 동안 더 많이 내려온다는 뜻이어서 공이 빨라지고 있음을 그대로 보여 줍니다. 즉 말로는 점점 빨라진다고밖에 못 했던 것을 그래프는 휘어진 정도로 보여 주는 것이지요. 그리고 표에 없던 0.25초의 값도 이제 구할 수 있습니다. 가로축의 0.25에서 위로 올라가 곡선과 만나는 점을 찾고 거기서 왼쪽으로 가서 세로축을 읽으면 약 0.31 m가 나옵니다.

하지만 그래프에서 읽은 값은 어디까지나 눈대중이라는 점을 잊어서는 안 됩니다. 왜냐하면 0.31 m인지 0.30 m인지는 선의 굵기와 눈금의 촘촘함에 달려 있기 때문입니다. 물론 그래프를 읽고 그리는 요령은 뒤에서 운동을 배울 때 따로 익히게 되므로, 지금은 그래프가 변화의 모양을 보여 주는 표현이라는 것만 붙잡아 두시기 바랍니다.

식으로 옮기면 아직 재지 않은 것까지 말할 수 있다

이제 앞에서 미뤄 둔 수상한 규칙으로 돌아가 봅시다. 시간이 두 배가 될 때 거리가 네 배가 되고 세 배가 될 때 아홉 배가 된다면, 거리는 시간 그 자체가 아니라 시간을 제곱한 값을 따라가고 있다고 짐작해 볼 수 있습니다. 여기서 제곱이란 같은 수를 두 번 곱하는 것을 말하고 $t$ 의 제곱은 $t^2$ 이라고 씁니다. 그리고 이 짐작이 맞는지는 표의 칸마다 $d$ 를 $t^2$ 으로 나누어 보면 곧바로 확인할 수 있습니다.

맨 아랫줄에 다섯 칸 모두 4.9가 나온 것은 결코 우연이 아닙니다. $d$ 를 $t^2$ 으로 나눈 값이 언제나 4.9라는 말은, 거꾸로 $t^2$ 에 4.9를 곱하면 언제나 $d$ 가 된다는 말과 같습니다. 따라서 표 전체가 다음의 식 한 줄로 줄어듭니다.

$$ d=4.9t^2 $$

이 식에서 $t$ 는 공을 놓은 뒤 흐른 시간을 초로 나타낸 것이고, $d$ 는 그동안 떨어진 거리를 미터로 나타낸 것입니다. 그리고 4.9는 표에서 찾아낸, 둘을 이어 주는 숫자입니다. 이 숫자가 왜 하필 4.9인지는 뒤에서 자유낙하를 배울 때 밝혀지므로, 지금은 표에서 읽어 낸 값으로만 받아들이겠습니다. 한 가지 덧붙이면 4.9에는 사실 단위가 붙어 있는데, 단위 이야기는 바로 다음 시간에 시작됩니다.

같은 사실을 그래프로도 한 번 더 확인할 수 있습니다. 가로축을 시간이 아니라 시간의 제곱으로 바꾸어 그렸더니, 앞에서 휘어 있던 선이 이번에는 곧은 직선이 되었습니다. 여기서 직선이라는 것은 가로로 간 만큼에 늘 같은 수를 곱한 만큼 세로로 올라간다는 뜻이고, 그 수를 읽어 보면 가로로 0.10 갈 때 세로로 0.49 올라가므로 역시 4.9입니다. 이처럼 서로 다른 두 길로 따져서 같은 숫자에 이르렀다면 그 식은 믿어도 좋습니다.

그런데 식의 진짜 힘은 아직 재어 보지 않은 것까지 말해 준다는 데 있습니다. 표는 0.5초에서 끝났지만 식에는 끝이 없으므로, 예를 들어 0.6초 뒤에 공이 얼마나 떨어져 있을지를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$ d=4.9\times 0.6^2=4.9\times 0.36=1.764 $$

즉 0.6초 뒤에는 공이 약 1.76 m 아래에 있으리라고 식이 미리 말해 주는 것입니다. 같은 방법으로 1초를 넣으면 4.9 m가 나오지요. 그런데 이것이 바로 앞에서 배운 예측이라는 점을 알아채셨습니까? 식은 틀릴 수도 있는 구체적인 숫자를 내놓았고, 우리는 실제로 공을 떨어뜨려서 그 숫자가 맞는지 확인해 볼 수 있습니다. 다시 말해 식이라는 표현은 관찰과 가설과 실험의 고리를 돌리는 데 꼭 필요한 연료인 셈입니다.

그럼 10초를 넣으면 490 m가 나오니까, 10초 뒤에는 정확히 490 m 떨어져 있겠네?

물론 식에 넣으면 그 숫자가 나오는 것은 맞지만, 실제 공이 그렇게 떨어진다는 보장은 없습니다. 왜냐하면 이 식은 공기의 영향을 지운 모형에서 나온 것인데, 오래 떨어져서 공이 아주 빨라지면 공기의 저항을 더는 무시할 수 없게 되기 때문입니다. 즉 식은 숫자만 넣으면 무엇이든 답을 내놓지만, 그 답을 믿어도 되는지는 식이 스스로 말해 주지 않습니다. 따라서 식을 쓸 때는 그 식이 어떤 모형에서 나왔고 어디까지 통하는지를 언제나 함께 떠올려야 합니다.

표현마다 잘하는 일이 다르다

지금까지 떨어지는 공 하나를 다섯 가지 모습으로 적어 보았습니다. 다섯 표현이 담고 있는 운동은 하나인데도 저마다 잘 보여 주는 것과 감추는 것이 달랐는데, 이를 표로 간추려 보았습니다.

어차피 답은 식으로 내는 거잖아. 식만 알면 되지 그림이랑 그래프는 뭐 하러 그려?

대부분의 초보자가 바로 이 지점에서 잘못 생각합니다. 실제로 물리 교육을 연구해 온 사람들은 입문 과정을 마친 학생들조차 공식에 숫자를 끼워 맞추는 풀이에 머무르는 일이 많다는 점을 일찍부터 문제로 꼽았고, 그 처방으로 한 문제를 말과 그림과 그래프와 식으로 두루 옮겨 보는 훈련을 내놓았습니다 [18]. 또 물리 문제를 푸는 전문가와 초보자를 견준 연구를 보면, 전문가는 어느 표현에서든 풀이를 시작할 수 있고 표현 사이를 훨씬 빠르게 오간다고 합니다 [19]. 한마디로 식만 붙들고 있는 것은 실력자의 방식이 아니라 초보자의 방식인 것입니다.

그 까닭은 표현 하나하나가 서로의 빈틈을 메워 주기 때문입니다. 예를 들어 그림을 그려 보면 무엇을 지우고 무엇을 남겼는지가 분명해지고, 그래프를 그려 보면 식으로 얻은 답이 말이 되는 모양인지를 눈으로 검사할 수 있습니다. 노선도만 들고 산에 오르는 사람이 없고 등산 지도만 들고 지하철을 타는 사람이 없듯이, 물리학을 하는 사람도 그때그때 알맞은 표현을 골라 쓰고 필요하면 다른 표현으로 옮겨 그릴 줄 알아야 합니다. 그러니 앞으로 문제를 만나면 식부터 찾지 말고, 먼저 그림을 그리는 습관을 들이시기 바랍니다.

연습 문제로 익히는 지도 읽는 법

지도 읽는 법은 눈으로 따라 읽을 때보다 직접 길을 찾아볼 때 훨씬 빨리 몸에 붙습니다. 그래서 오늘 배운 내용을 고루 써 볼 수 있도록 문제 다섯 개를 골랐는데요, 열 배씩 건너뛰는 자를 읽는 문제에서 시작해 물체를 점으로 보아도 되는지 가리는 문제와 표를 식으로 옮기는 문제를 거쳐, 낱말을 가려 쓰는 문제와 가설을 시험대에 올리는 문제로 이어집니다. 다만 오늘은 계산보다 판단이 중심이므로, 풀이를 보기 전에 자기 답과 그 까닭을 한두 문장으로 먼저 적어 보시기 바랍니다. 그런 다음 풀이와 견줄 것은 답 그 자체가 아니라 그렇게 답한 까닭입니다.

문제 1 원자와 적혈구와 사람 사이의 거리

열 배씩 건너뛰는 자 위에 세 가지 길이를 올려놓았습니다. 원자의 지름은 약 $10^{-10}\ \mathrm{m}$ 이고, 우리 피 속을 떠다니는 적혈구의 지름은 약 $10^{-5}\ \mathrm{m}$, 사람의 키는 약 $10^{0}\ \mathrm{m}$ 단계에 있습니다. (가) 적혈구의 지름에 원자를 한 줄로 늘어놓으면 몇 개쯤 들어가는지, (나) 사람의 키는 적혈구 지름의 몇 배쯤인지 구해 보세요. 그리고 (다) 사람의 키보다 (나)에서 구한 배수만큼 더 큰 길이는 몇 미터인지 구하고, 그것이 우리에게 익숙한 어떤 거리쯤인지도 말해 보세요.

풀이

세 물음은 모두 두 길이가 몇 배 차이 나는지를 묻고 있고, 열 배씩 건너뛰는 자에서는 그 답이 눈금 사이의 칸 수에 들어 있습니다. 왜냐하면 이 자에서는 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 길이가 열 배가 되므로, 칸 수를 세면 곧 10을 몇 번 곱해야 하는지를 센 것이 되기 때문입니다. 먼저 (가)를 보면 원자가 놓인 $10^{-10}$ 눈금에서 적혈구가 놓인 $10^{-5}$ 눈금까지는 다섯 칸인데요, 그림에서 손가락으로 짚어 가며 직접 세어 보시기 바랍니다. 따라서 적혈구의 지름은 원자의 지름에 10을 다섯 번 곱한 것과 같습니다.

$$ 10\times 10\times 10\times 10\times 10=10^{5}=100\thinspace 000 $$

즉 적혈구 하나의 지름에는 원자가 10만 개쯤 늘어섭니다. 다음으로 (나)에서도 $10^{-5}$ 눈금에서 $10^{0}$ 눈금까지가 똑같이 다섯 칸이므로, 사람의 키 역시 적혈구 지름의 10만 배쯤입니다. 그런데 여기서 재미있는 사실 하나가 드러납니다. 원자에서 적혈구까지가 다섯 칸이고 적혈구에서 사람까지도 다섯 칸이니, 적혈구는 이 자 위에서 원자와 사람의 꼭 한가운데에 놓여 있는 셈이지요. 다시 말해 적혈구에서 본 사람의 크기는 원자에서 본 적혈구의 크기와 같은 배수입니다.

마지막으로 (다)는 사람의 키에서 같은 방향으로 다섯 칸을 더 가면 됩니다. $10^{0}$ 눈금에서 오른쪽으로 다섯 칸을 가면 $10^{5}$ 눈금에 닿는데, $10^{5}\ \mathrm{m}$ 는 100,000 m이고 1 km가 1,000 m이므로 100 km입니다. 이는 자동차가 고속도로를 시속 100 km로 한 시간 동안 달려야 하는 거리이지요.

따라서 적혈구의 지름에는 원자가 약 10만 개 늘어서고, 사람의 키는 적혈구 지름의 약 10만 배이고, 사람의 키의 10만 배는 $10^{5}\ \mathrm{m}$, 곧 100 km쯤입니다.

이 답이 그럴듯한지는 마지막 결과를 거꾸로 읽어 보면 느낄 수 있습니다. 사람에게 100 km가 걸어서는 엄두가 나지 않는 까마득한 거리이듯이, 적혈구에게는 사람의 몸이 그만큼 까마득하고 원자에게는 적혈구가 또 그만큼 까마득하다는 뜻이기 때문입니다. 한편 이런 문제에서 가장 흔한 실수는 오른쪽 위의 숫자를 곧바로 배수로 읽는 것인데요, 예를 들어 지수가 $-10$ 에서 $-5$ 로 5만큼 커졌다고 5배라고 답하거나, 10을 5로 나누어 2배라고 답하는 식이지요. 그러나 오른쪽 위의 숫자는 10을 곱한 횟수이므로, 5만큼의 차이는 5배가 아니라 10을 다섯 번 곱한 10만 배입니다.

문제 2 배와 동전을 점으로 보아도 될까

길이가 300 m인 컨테이너선과 지름이 2 cm인 동전을 놓고 다음 네 가지를 알아내려고 합니다. (가) 이 배가 9,000 km 떨어진 항구까지 바다를 건너는 데 며칠이 걸리는가. (나) 이 배가 폭이 250 m인 곧은 수로 한가운데에 멈추어 선 채, 제자리에서 뱃머리를 반대쪽으로 돌릴 수 있는가. (다) 이 동전이 높이 1 m인 선반에서 떨어져 바닥에 닿을 때까지 시간이 얼마나 걸리는가. (라) 바닥에 놓인 그 동전이 앞면을 보일 것인가, 뒷면을 보일 것인가. 네 물음 가운데 물체를 입자로 보아도 되는 것과 안 되는 것을 가리고 그 까닭을 설명해 보세요. 그리고 (나)에서는 배를 점으로 볼 때와 배의 길이를 살릴 때의 답이 어떻게 달라지는지도 말해 보세요.

풀이

물체를 점으로 보아도 되는지는 물체가 아니라 물음이 정한다는 것을 확인하는 문제입니다. 그 기준은 두 가지였는데, 하나는 물체의 크기가 움직이는 범위에 견주어 충분히 작은가이고 다른 하나는 알고 싶은 것이 물체의 회전이나 속사정과 관계가 없는가였습니다. 그러니 네 물음을 이 두 기준에 차례로 대어 볼까요?

먼저 (가)에서는 배를 입자로 보아도 됩니다. 9,000 km는 9,000,000 m이므로 배의 길이는 항해 거리의 3만분의 1에 지나지 않고, 며칠이 걸리는지를 묻는 데에는 배가 어느 쪽을 보고 있는지도 상관이 없기 때문입니다.

$$ \frac{300}{9\thinspace 000\thinspace 000}=\frac{1}{30\thinspace 000} $$

그런데 같은 배가 (나)에서는 입자가 될 수 없습니다. 왜냐하면 이번에는 배가 움직일 수 있는 범위가 수로의 폭 250 m뿐인데, 배의 길이가 그보다 오히려 길어서 첫째 기준부터 어긋나기 때문입니다. 게다가 물음 자체가 뱃머리가 어느 쪽을 향하는지를 묻고 있으니, 방향이 없는 점으로는 물음을 옮겨 적을 수조차 없습니다. 그렇다면 길이를 지운 채로 답하면 어떻게 될까요? 점은 자리를 차지하지 않아서 아무리 좁은 수로에서도 걸릴 것이 없으므로, 얼마든지 돌 수 있다는 답이 나옵니다.

하지만 실제 배는 방향을 바꾸는 도중에 수로를 가로질러 놓이는 순간을 반드시 거칩니다. 그 순간 배는 폭 방향으로 300 m를 차지해야 하는데 수로의 폭은 250 m뿐이어서, 뱃머리와 배꼬리가 양쪽 둑에 걸리고 맙니다. 이 장면을 하늘에서 내려다보면 다음과 같습니다.

$$ 300\div 250=1.2 $$

즉 배의 길이가 수로 폭의 1.2배나 되므로 배는 제자리에서 돌 수 없고, 배를 점으로 보고 내린 답은 정반대로 틀린 셈이지요.

이어서 동전을 살펴보면, (다)에서는 입자로 보아도 되고 (라)에서는 안 됩니다. 우선 (다)의 경우 동전의 지름은 떨어지는 높이의 50분의 1이고, 동전처럼 작고 묵직한 물체가 1 m를 떨어지는 동안에는 공기의 영향도 작습니다. 그리고 바닥에 닿을 때까지의 시간을 묻는 데에는 동전이 돌든 말든 상관이 없습니다. 반면에 (라)는 동전이 떨어지면서 몇 바퀴를 돌았는지가 곧 답을 정하는 물음입니다. 그런데 점에는 앞면도 뒷면도 없으므로, 회전을 지운 입자 모형은 이 물음에 한마디도 답하지 못하는 것이지요.

정리하면 (가)와 (다)에서는 물체를 입자로 보아도 되고, (나)와 (라)에서는 입자로 볼 수 없습니다. 그리고 (나)에서 배를 점으로 보면 돌 수 있다는 답이 나오지만, 길이가 수로 폭의 1.2배인 실제 배는 돌 수 없습니다.

배를 두고 던진 두 물음의 답을 가른 것은 처음에 견준 크기의 비입니다. 실제로 배의 길이는 (가)에서 움직이는 범위의 3만분의 1이었지만 (나)에서는 1.2배였는데, 똑같은 300 m가 한 번은 있으나 마나 한 값이 되고 한 번은 답을 뒤집는 값이 된 것이지요. 물론 (가)에서도 배의 길이를 살려 볼 수는 있습니다. 그러나 그렇게 해서 달라지는 것은 항구에 닿은 때를 뱃머리로 따지느냐 배꼬리로 따지느냐 하는 300 m의 차이뿐이고, 이는 9,000 km를 가는 항해에서 눈에 띄지도 않습니다. 이처럼 지운 것이 답을 얼마나 바꾸는지는 지운 크기와 움직이는 범위의 비가 미리 알려 줍니다.

문제 3 타들어 가는 양초를 표에서 식으로

가느다란 양초에 불을 붙이고 5분마다 남은 길이를 재었더니 아래 표와 같았다고 합시다. 불을 붙인 뒤 흐른 시간을 $t$, 그때 양초의 남은 길이를 $L$ 이라고 쓰겠습니다. (가) 표에서 규칙을 찾아 $L$ 을 $t$ 의 식으로 나타내고, (나) 표에 없는 12분의 길이를 구하고, (다) 30분 뒤의 길이를 예측해 보세요. 그리고 (라) 이 식에 50분을 넣으면 어떤 값이 나오는지 계산하고, 그 값을 어떻게 받아들여야 하는지 설명해 보세요.

풀이

표를 식으로 옮기려면 먼저 칸에서 칸으로 넘어갈 때 무엇이 한결같은지를 찾아야 합니다. 그래서 이웃한 칸끼리 빼 보면 12.0에서 10.5로, 다시 10.5에서 9.0으로, 어느 칸에서나 5분마다 1.5 cm씩 줄어든다는 것을 알 수 있습니다. 그래프로 보아도 다섯 점이 자를 대고 그은 듯 한 줄로 늘어서 있는데, 이는 같은 시간마다 같은 길이가 줄어든다는 뜻이지요. 따라서 1분마다 줄어드는 길이는 다음과 같습니다.

$$ 1.5\div 5=0.3 $$

즉 양초는 1분에 0.3 cm씩 짧아지므로, $t$ 분 동안에는 $0.3t$ 만큼 짧아집니다. 그런데 처음 길이가 12 cm였으니, 남은 길이는 거기서 짧아진 만큼을 뺀 값이 됩니다.

$$ L=12-0.3t $$

이 식에서 $t$ 는 분으로, $L$ 은 센티미터로 나타낸 값입니다. 이제 (나)와 (다)는 식에 숫자를 넣기만 하면 됩니다.

$$ L=12-0.3\times 12=8.4,\qquad L=12-0.3\times 30=3.0 $$

12분에는 8.4 cm가 남고, 30분 뒤에는 3.0 cm가 남으리라는 예측입니다. 여기서 앞의 값은 표의 10분과 15분 사이에 있는 값이어서 그래프의 점들을 이은 직선을 따라 읽어도 얻을 수 있지만, 뒤의 값은 표가 끝난 20분보다 한참 뒤의 일이어서 식이 있어야만 말할 수 있습니다. 그렇다면 (라)에서 50분을 넣으면 어떻게 될까요?

$$ L=12-0.3\times 50=-3.0 $$

남은 길이가 $-3.0$ cm라는, 있을 수 없는 값이 나왔습니다. 그 까닭은 식에서 $L$ 이 0이 되는 때를 찾아보면 알 수 있는데요, $12\div 0.3=40$ 이므로 양초는 40분에 다 타 버립니다. 그런데 식은 그 뒤로 탈 것이 남아 있지 않다는 사정을 모른 채 계속 0.3 cm씩 빼 나간 것이지요.

따라서 식은 $L=12-0.3t$ 이고, 12분에는 8.4 cm가, 30분에는 3.0 cm가 남습니다. 그리고 50분의 $-3.0$ cm는 뜻이 없는 값이어서, 이 식은 불을 붙인 때부터 양초가 다 타는 40분까지만 쓸 수 있습니다.

식이 믿을 만한지는 표의 값을 도로 넣어 보면 확인됩니다. 예를 들어 $t$ 에 20을 넣으면 $12-6=6.0$ 이 되어 표의 마지막 칸과 꼭 맞지요. 한편 12분의 값을 10분과 15분의 한가운데인 8.25 cm로 어림하면 조금 어긋나는데, 12분은 두 칸의 한가운데가 아니라 10분 쪽에 더 가깝기 때문입니다. 그리고 30분의 예측은 양초가 끝까지 같은 빠르기로 탄다는 가정 위에 서 있다는 점도 잊어서는 안 됩니다. 만약 도중에 바람이 불거나 양초의 굵기가 달라진다면, 40분이 되기 전이라도 식은 얼마든지 어긋날 수 있겠지요? 결국 식은 숫자를 넣으면 무엇이든 내놓으므로, 그 값이 식이 통하는 범위 안의 것인지는 우리가 따로 살펴야 합니다.

문제 4 쇠막대를 두고 한 다섯 가지 말

길이가 1 m인 쇠막대를 데우면서 얼마나 늘어나는지를 살펴본 사람이 다음과 같은 다섯 가지 말을 남겼다고 합시다. (가) 막대의 온도를 10도 올렸더니 0.12 mm가 늘어났고, 20도 올렸더니 0.24 mm가 늘어났다. (나) 쇠막대가 늘어나는 길이는 온도가 오른 정도에 비례한다. (다) 쇠는 제자리에서 끊임없이 떨리는 원자들로 이루어져 있는데, 온도가 오르면 그 떨림이 커져서 원자 사이의 거리가 벌어진다. (라) 쇠 속의 원자를 작은 공으로, 원자끼리 서로 붙잡는 힘을 공 사이에 걸린 용수철로 바꾸어 그린다. (마) 그렇다면 이 막대의 온도를 50도 올리면 0.60 mm가 늘어날 것이다. 다섯 가지 말이 저마다 관찰, 법칙, 이론, 모형, 예측 가운데 무엇에 해당하는지 가려 보세요. 그리고 이 말을 들은 친구가 (다)는 아직 이론일 뿐이니까 (나)보다 덜 확실하고, 증거가 더 쌓이면 (다)도 법칙이 될 것이라고 했다면 그 말의 어디가 틀렸는지 설명해 보세요.

풀이

낱말을 가리는 열쇠는 그 말이 어떤 물음에 답하고 있는지를 보는 것입니다. 앞에서 기체를 예로 들어 살펴보았듯이 법칙은 무슨 일이 벌어지는지를, 이론은 왜 그렇게 되는지를, 모형은 대상을 무엇으로 보고 따질지를 말해 줍니다. 이 잣대를 다섯 가지 말에 대어 본 결과를 표로 옮기면 다음과 같습니다.

먼저 (가)는 특정한 막대를 직접 재어서 얻은 숫자이므로 관찰입니다. 반면에 (나)는 그런 관찰 여럿에서 되풀이되는 규칙을 한 줄로 간추린 것이어서 법칙에 해당하는데, 이 말은 막대가 왜 늘어나는지에 대해서는 아무것도 알려 주지 않습니다. 바로 그 까닭을 원자의 떨림으로 설명하는 (다)가 이론이고, (다)가 딛고 서 있는 단순한 그림인 (라)가 모형입니다. 그리고 (마)는 (나)의 규칙에서 따져서 끌어낸, 확인할 수 있는 숫자이므로 예측이지요. 실제로 10도에 0.12 mm씩이라면 50도에는 그 다섯 배인 $0.12\times 5=0.60$ mm가 늘어나야 합니다.

이제 친구의 말을 살펴보면, 틀린 곳은 이론과 법칙을 한 줄로 세운 데 있습니다. 왜냐하면 (나)와 (다)는 확실한 정도가 다른 것이 아니라 하는 일이 다르기 때문입니다. 즉 (나)는 규칙을 간추린 요약이고 (다)는 그 규칙의 까닭을 밝힌 설명이어서, (다)를 뒷받침하는 증거가 아무리 쌓여도 설명이 요약으로 바뀌지는 않습니다. 게다가 덜 확실하다는 말도 맞지 않는데, 과학에서 이론이라는 이름은 수많은 시험을 견뎌 낸 설명에만 붙기 때문입니다.

따라서 (가)는 관찰, (나)는 법칙, (다)는 이론, (라)는 모형, (마)는 예측입니다. 그리고 친구의 말은 서로 다른 일을 하는 법칙과 이론을 확실한 순서대로 줄 세웠다는 점에서 틀렸습니다.

분류가 제대로 되었는지는 낱말을 서로 바꾸어 넣어 보면 드러납니다. 가령 (나)를 이론이라고 부르려면 그 말이 막대가 늘어나는 까닭을 담고 있어야 하는데, 비례한다는 말 어디에 까닭이 들어 있습니까? 반대로 (다)를 법칙이라고 부르려면 얼마나 늘어나는지를 숫자로 간추려 주어야 하지만, (다)만으로는 0.60 mm라는 예측을 끌어낼 수 없습니다. 다만 (나)에도 통하는 범위가 있다는 점은 함께 기억해 두시기 바랍니다. 막대를 녹을 만큼 뜨겁게 달구면 비례는 더 이어지지 않으므로, 법칙이라는 이름이 붙었다고 해서 언제 어디서나 성립하는 것은 아닙니다.

문제 5 용수철에 추를 매달아 가설을 시험하기

지우는 용수철에 똑같은 추를 하나씩 매달면서 용수철이 늘어난 길이를 재었습니다. 추가 1개일 때 1.5 cm, 2개일 때 3.0 cm, 3개일 때 4.5 cm, 4개일 때 6.0 cm가 늘어났고, 지우는 이것을 보고 용수철은 추 하나에 1.5 cm씩 늘어난다는 가설을 세웠습니다. (가) 이 가설이 용수철은 추가 당기는 기운 때문에 늘어난다는 말보다 과학의 가설로서 나은 까닭을 설명하고, 추 6개를 매달았을 때의 예측을 구해 보세요. (나) 실제로 추 6개를 매달았더니 예측한 값이 그대로 나왔다면, 이제 이 가설은 옳다고 증명된 것인지 판단해 보세요. (다) 이어서 추 10개를 매달았더니 18.2 cm가 늘어났고, 추를 모두 떼어 낸 뒤에도 용수철은 처음보다 2.4 cm 늘어난 채로 있었습니다. 이 결과를 설명할 수 있는 길을 두 가지 들고, 어느 쪽인지 가려내려면 무엇을 더 해 보아야 하는지 말해 보세요. (라) 끝으로 지우가 처음의 가설을 어떻게 고쳐 적어야 할지 정해 보세요.

풀이

가설이 예측을 내놓고 그 예측이 실험과 만나는 고리를 처음부터 끝까지 한 바퀴 돌아 보겠습니다. 먼저 (가)에서 두 말을 견주어 보면, 추가 당기는 기운 때문이라는 말은 그럴듯하게 들리기는 해도 무엇을 재어야 맞고 틀림이 가려지는지를 알려 주지 않습니다. 반면에 추 하나에 1.5 cm씩이라는 가설은 아직 재지 않은 경우에 대해 숫자를 내놓습니다. 예를 들어 추가 6개라면 늘어난 길이는 다음과 같이 9.0 cm가 되어야 합니다.

$$ 1.5\times 6=9.0 $$

즉 9.0 cm가 아닌 값이 나오면 틀린 것으로 판가름이 나도록 스스로를 시험대에 올려놓았다는 점에서, 지우의 가설이 훨씬 나은 가설입니다.

그렇다면 (나)에서 9.0 cm가 그대로 나왔으니 가설은 증명된 것일까요? 결코 그렇지 않습니다. 물론 틀릴 수도 있었던 예측이 맞았으므로 가설을 전보다 더 믿을 이유는 생겼습니다. 하지만 확인된 것은 추가 6개일 때까지의 일일 뿐이고, 7개나 10개에서도 같은 규칙이 이어진다고는 아직 누구도 말할 수 없지요. 다시 말해 예측이 맞았다는 것은 가설이 지금까지의 시험을 통과했다는 뜻이지, 앞으로의 모든 시험을 통과했다는 뜻이 아닙니다.

실제로 (다)에서는 예측이 어긋났습니다. 가설대로라면 추 10개에서는 $1.5\times 10=15.0$ cm가 늘어나야 하는데, 잰 값은 그보다 3.2 cm나 큰 18.2 cm였기 때문입니다. 지금까지 잰 값을 가설의 직선과 함께 그래프에 옮겨 보았습니다.

여기서 생각해 볼 수 있는 길은 두 갈래입니다. 하나는 가설은 옳은데 우리가 모르는 무언가가 끼어들었다고 보는 것으로, 자를 잘못 읽었거나 나중에 보탠 추가 더 무거웠을 수도 있겠지요. 다른 하나는 가설 자체가 추가 많을 때에는 통하지 않는다고 보는 것입니다. 그러므로 어느 쪽인지 가려내려면 우선 추를 하나씩 저울에 달아 보고 눈금을 다시 읽어서 첫째 길을 확인해야 합니다. 그런 다음 똑같은 새 용수철을 구해 아직 재지 않은 7개, 8개, 9개에서 늘어난 길이를 재고, 예측한 10.5 cm, 12.0 cm, 13.5 cm에서 어디부터 벗어나는지를 보면 둘째 길도 확인할 수 있습니다. 그런데 문제에 이미 중요한 단서가 하나 들어 있다는 것을 알아채셨습니까? 추를 모두 뗐는데도 용수철이 2.4 cm 늘어난 채 돌아오지 않았다는 것은 용수철 자체가 달라졌다는 뜻이어서, 둘째 길 쪽에 무게가 실립니다.

마지막으로 (라)에서 지우가 할 일은 가설을 버리는 것이 아니라 가설에 범위를 붙이는 것입니다. 왜냐하면 추 6개까지는 예측이 꼭 맞았으므로, 그 안에서는 이 규칙이 여전히 훌륭한 지도이기 때문입니다.

정리하면 지우의 가설은 숫자로 된 예측을 내놓는다는 점에서 더 낫고, 추 6개의 예측은 9.0 cm입니다. 이 예측이 맞았어도 가설이 증명된 것은 아니고, 추 10개에서는 잰 값이 예측 15.0 cm와 3.2 cm 어긋났습니다. 따라서 가설은 추 6개까지는 추 하나에 1.5 cm씩 늘어난다는 꼴로, 확인한 범위를 붙여서 고쳐 적어야 합니다.

이 결론은 오늘 살펴본 두 행성의 이야기와 뼈대가 같습니다. 천왕성의 어긋남은 모르는 행성 때문이었고 수성의 어긋남은 이론의 한계 때문이었듯이, 어긋난 예측 앞에서는 언제나 모르는 요인과 규칙의 한계라는 두 길을 함께 따져야 합니다. 그리고 추 10개에서 어긋난 3.2 cm는 예측의 5분의 1이 넘는 크기여서, 눈금을 조금 잘못 읽은 탓으로 돌리기도 어렵겠지요? 한편 여기서 가장 빠지기 쉬운 잘못은 (나)에서 증명되었다고 답하는 것인데요, 그렇게 답한 사람은 추 10개의 결과를 보고 가설을 통째로 버려야 한다는 정반대의 잘못으로 넘어가기 쉽습니다. 맞은 예측은 가설을 더 믿게 해 줄 뿐이고, 어긋난 예측은 그 가설이 통하는 범위의 끝을 알려 줍니다. 자, 다섯 문제를 풀어 보았으니 이제 오늘 그린 지도를 한 장으로 접어 볼 차례입니다.

지도를 들고 길을 나서기 전에

오늘 그린 지도를 한 장으로 접으면

오늘 살펴본 것들을 거꾸로 거슬러 올라가면서 하나로 묶어 보겠습니다. 문제를 풀기 바로 전에 우리는 떨어지는 공을 말과 그림과 표와 그래프와 식으로 옮겨 적었는데, 그렇게 옮겨 적은 것은 실제 공이 아니라 공을 점으로 바꾸고 공기를 지운 모형이었습니다. 그리고 그 모형은 꼭 필요한 것만 남기는 이상화를 거쳐 만들어졌고, 모형에서 나온 식은 틀릴 수도 있는 숫자를 예측으로 내놓았습니다. 이때 그 예측을 자연에 물어보아 맞으면 모형을 더 믿게 되고, 어긋나면 해왕성과 수성의 이야기에서처럼 가설을 고치거나 지도 자체를 새로 그리게 되지요.

이 흐름의 한가운데에 모형이 놓여 있다는 점을 다시 한번 눈여겨보시기 바랍니다. 자연은 너무 복잡해서 통째로는 다룰 수 없으므로, 물리학의 모든 계산과 예측은 자연이 아니라 모형을 상대로 이루어집니다. 그리고 법칙은 그 과정에서 찾아낸 규칙을 간추린 것이고, 이론은 그 규칙이 왜 생기는지를 설명하는 것이었습니다. 그리고 이 모든 것에는 양성자에서 관측 가능한 우주까지 펼쳐진 사다리 위에서 저마다 통하는 구간이 정해져 있습니다.

결국 오늘의 핵심은 처음에 말씀드린 한 문장으로 돌아옵니다. 즉 물리학은 자연을 있는 그대로 베끼는 학문이 아니라, 자연을 쓸모 있는 지도로 바꾸어 그리고 그 지도를 실험으로 끊임없이 고쳐 나가는 학문입니다. 따라서 방금 표에 적은 여덟 줄은 모두 이 한 문장의 일부를 떼어 내어 이름을 붙인 것이라고 보셔도 좋습니다.

지도를 믿되 축척을 확인한다

맨 위에 실은 것은 1572년의 지도책에 실린 세계 지도입니다. 물론 450년쯤 전의 지도이다 보니 오늘날의 지도와 견주면 어긋난 곳이 한둘이 아닙니다. 그렇다고 이 지도를 그린 사람들을 어리석다고 할 수는 없는데요, 그때까지 알려진 것을 가장 잘 담아낸 지도였고 뒷사람들이 바로 이 지도를 고쳐 가면서 지금의 지도에 이르렀기 때문입니다. 그리고 물리학의 지도도 사정이 똑같아서, 지금 우리가 배우는 모형과 이론 역시 언젠가 더 넓은 지도의 한 귀퉁이가 될 수 있습니다.

따라서 물리학을 공부하는 내내 지녀야 할 태도는 지도를 믿되 축척을 확인하는 것입니다. 실제로 모형과 법칙은 통하는 범위 안에서는 놀랄 만큼 정확하므로 마음껏 믿고 써도 됩니다. 하지만 그 범위 밖으로 들고 나가는 순간, 메르카토르 지도로 그린란드의 넓이를 재려는 것과 같은 실수를 저지르게 됩니다. 그러므로 새 모형이나 법칙을 만날 때마다 무엇을 지웠는지, 어디까지 맞는지, 그리고 다른 표현으로 옮길 수 있는지를 습관처럼 물어보시기 바랍니다.

마지막으로 오늘 배운 것을 몸에 붙이는 가장 좋은 방법은 주변의 움직임 하나를 골라 직접 모형으로 바꾸어 보는 것입니다. 예를 들어 엘리베이터가 1층에서 10층까지 올라가는 것을 떠올리고, 몇 초 뒤에 몇 층에 있는지를 알려면 무엇을 지워도 되고 무엇을 남겨야 하는지 스스로 적어 보는 것이지요. 그리고 그 움직임을 말과 그림과 표로 한 번씩 옮겨 보면, 표현마다 무엇이 드러나고 무엇이 가려지는지를 직접 느낄 수 있습니다. 그렇다면 여러분이 고른 움직임에서는 무엇을 지울 수 있겠습니까?

다음 시간에는 숫자에 단위를 붙인다

그런데 오늘 이야기에는 슬쩍 넘어간 것이 하나 있습니다. 바로 단위인데요, 길이의 사다리에도 떨어지는 공의 표에도 숫자 뒤에는 늘 m나 s 같은 글자가 붙어 있었는데, 우리는 그것이 무엇인지 따로 묻지 않았습니다. 그러나 1 m가 얼마만 한 길이인지를 모든 사람이 똑같이 알고 있지 않다면, 0.441 m라는 숫자는 아무것도 전하지 못합니다. 사실 르베리에가 파리에서 계산한 자리를 갈레가 베를린에서 찾아낼 수 있었던 것도 두 사람이 하늘의 자리를 같은 단위로 적고 있었기 때문입니다.

즉 지도에 숫자를 적어 넣으려면 그 숫자를 재는 잣대부터 모두가 함께 정해 두어야 합니다. 다음 시간에는 바로 이 잣대, 곧 길이와 시간과 질량의 표준이 어떻게 정해졌고 오늘날의 국제단위계가 어떻게 짜여 있는지를 살펴보겠습니다. 물론 오늘 잠깐 스쳐 지나간 10의 거듭제곱 표기도 그때 제대로 익히게 됩니다. 그렇다면 1 m라는 길이는 과연 누가, 무엇을 기준으로 정한 것일까요?

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